第10章应力状态分析

发布于:2021-10-14 09:17:45

第10章
1 2 3 4 5

应力状态分析

强度理论

应力状态的概念 *面应力状态分析——解析法 *面应力状态分析——图解法(应力圆) 空间应力的应力状态分析——一点的最大应力 广义胡克定律

6 7

强度理论概念 四个经典强度理论

莫尔强度理论

1

应力状态的概念
200kN
N max ? ? ?? ?, A

一、应力状态的概念: 1.轴向拉压: 50kN 2.圆轴扭转:
? max ? max

150 kN ? max

最大切应力在截面最外缘;? max

Tmax ? ? ?? ?; Wp

F

3.梁弯曲: A
最大正应力在截面上、下边缘; 最大切应力在截面中性轴上。

z
? max ? ? max
M max ? ?? ?, Wz

* Fs S max ? ? ?? ?. Iz ?b

问题1:同一点处不同方位截面上的应力不相同;
轴向拉伸杆件

F
n

F
? ?p ?
x

F ?? 横截面应力: A

F F

? ? ? ? cos2 ? 斜截面应力: ? ? ? ? sin(2? )
2

??
?p

??

问题2

B点处应力(既有正应力又有切应力)该如何校核?

梁弯曲的强度条件:

? max

* M max Fs S max ? ? ?? ? , ? max ? ? ?? ?. Wz Iz ?b

F
z
(?)
z

F

B

?B

?B

Fl

圆轴扭转试验

问题3 铸铁、低碳钢的扭转 (拉、压)试验现象是怎样产 生的?

因此有必要研究——一点的应力状态。
一点应力状态:指构件内任一点处所有不同方位截面上的应力情况。 研究应力状态的目的:确定危险截面危险点处不同方位截面上的应力变化规 律,确定在那个方向正应力最大,那个方向切应力最 大,从而全面考虑构件破坏的原因,建立适当的强度 条件。

二、点的应力状态的研究方法:
单元分析法:在所要研究点处取一微小的正六面体——单元体
1、截取单元体,使其各面上的应 力为已知;
B

B

F

dx ? 0, dy ? 0, dz ? 0.

dy
B


dz
? xy
?x

dx

在单元体各面上标上应力——应力单元体

2、因为单元体极其微小,可认为各截面上应力均匀分布;
3、因为单元体极其微小,可忽略单元体二*行*面之间应力的 微小变化,认为二*行*面上应力大小相等; 4、在此基础上采用截面法,即可确定任何斜截面上的应力;

单元体的应力状态就代表了该点处的应力状态。

如何截取单元体
围绕 A点取应力状态单元体:
F
A

M ?? y, Iz
* Fs ? S z ?? . Iz ?b

y
Me

y

纵向水*面 y
b

? yx
c

b

x

c
z

z

? zx

? xz

x

? xy

x

z

??
y

M WT

纵向铅垂面

横截面

l

F

b c
z
Mn

x

?x

b
FL ?x ? , WZ

? xz

? xz
C
?x

?x
T ?? WT

取单元体示例

FP
S 截面

l/2

l/2

5

4
3 2 1

FP 2

S截面

5

FP l Mz ? 4

4 3 2
1

5 4
3 2 1

FP 2

S 截面

5 4 3 2

FP l Mz ? 4

1
?2

?x

2

1

?x

1

2
?2

3

?3

微体abcd

微体A

三、主应力和主*面

应力状态的分类

(1)、主*面与主应力: 主*面:切应力为零的*面。 主应力:主*面上的正应力。 过一点总存在三对相互垂直的主*面,对应三个主应力 主应力排列规定:按代数值由大到小。 1 ? 10

??2 ??3
? 1 ? 10 MPa; 30 ? 2 ? 0; ? 3 ? ?30 MPa;

50 单位:MPa

? 1 ? 50 MPa; 30 ? 2 ? 10 MPa; ? 3 ? ?30 MPa;

10

(2)、应力状态的分类 a、单向应力状态:只有一个主应力不等于零,另两个主应力 都等于零的应力状态。 b、二向应力状态:有两个主应力不等于零 ,另一个主应力 等于零的应力状态。 c、三向应力状态:三个主应力都不等于零的应力状态。 *面应力状态:单向应力状态和二向应力状态的总称。 空间应力状态:三向应力状态 简单应力状态:单向应力状态。 复杂应力状态:二向应力状态和三向应力状态的总称。 纯剪切应力状态:单元体上只存在切应力无正应力。
注:应力状态的分类,是根据主应力不等于零的个数来确定。

空间应力状态

?z

z
? zy ? yz

*面应力状态

? zx
x
?x

? xz

y
?y

? yx

? xy? yx

y

?x
?y

? xy

x

y
?x

y

? yx

? xy

x

x

单向应力状态

纯剪应力状态

§2 *面应力的应力状态分析 — 解析法
一、斜截面上的应力计算
?y

?y

?y
等价

?y

?x
y

?x

?x
?y

?x
y

?x
?y

?x

o

空间问题简化 为*面问题

z

x

?y y

o

x

?y

n

?x
o

?
?x
?y

?x

x

?

-- 逆时针转为正。

?y

?y
?x

b

?x

??

n

b

?

单元体各面面积

a

c
?y

?x

?x

?x
a? y
?y

?? c

x bc : dA

ab : dA ? cos?
t

ac : dA ? sin ?

设:斜截面面积为dA,由分离体*衡得:

?F

n

?0 ;

? ? dA ? (? x dA cos? ) cos? ? (? x dAcos? ) sin?
? (? y dAsin ? ) sin ? ? (? y dAsin ? ) cos? ? 0

bc : dA ; ab : dA? cos? ; ac : dA? sin?

?F

t

? 0, ? ? ? dA ? (? x dA cos? ) sin ? ? (? x dA cos? ) cos? ? (? y dA sin ? ) cos? ? (? y dA sin ? ) sin ? ? 0
b

由切应力互等定理和三角变换,可得:

? x ?? y ? x ?? y ?? ? ? cos 2? ? ? x sin 2? 2 2

?x

??

n

?

?? ?

? x ?? y
2

sin 2? ? ? x cos 2?

?x
a? y
?y

?? c

x

——单元体任意斜截面上的应力计算式

t

符号规定:1 )“??”正负号同“?”; 2) ? ? 正负号同“? ; 3) “? 为x 轴正向与斜面的外法线间的夹角,逆时针为正,顺时针 为负。注意:用公式计算时代入相应的正负号。

讨论: ? ? ? ? x ? ? y ? ? x ? ? y cos 2? ? ? x sin 2?

?? ?
1)、

? x ?? y
2

2

2

(1)
?x

b

??

n

sin 2? ? ? x cos 2?
0

?

(2)

?x
a? y
?y

? 2)、 ?
d? ? d?

? ? ? ? ? ?90 ? ? x ? ? y

?? c

x

? ?? 0

d? ? ? 0, 的极值主应力以及主*面方位 d? ? ?? 0 ? x ?? y ?? sin 2? 0 ? ? x cos 2? 0 ? 0 ? ?2? ? 0 即? ? ? 0 2
0

t

? 2? x tg 2? 0 ? ? x ?? y
主*面的方位

可以确定出两个相互垂直的 *面——主*面,分别为最大正 应力和最小正应力所在*面。

(? 0 ;

? ? 0 ? ? 0 ? 90 0 )
)2 ? ? x
2

? max ?
min

? x ?? y
2

? (

? x ?? y
2

——主应力的大小

3)、 切应力? ? 的极值及所在截面 ? x ?? y ?? ? sin 2? ? ? x cos 2? , 由 2 ? x ?? y d? ? tan 2?1 ? 令 ?0 2? xy d? ? ??
1

b

?x

??

n

?

?x
a? y
?y

?? c

x

t

(?1 ;
? max ? ? (
min

? ?1 ? ?1 ? 90 0 )
)2 ? ? x
2

——最大切应力 所在的位置

? x ?? y
2

——xy 面内的最大切应力

tan 2? 0 tan 2?1 ? ?1

(?1 ? ? 0 ? 45 0 )

将 ? max 与 ? max , ? min 画在原单元体上。
tan 2? 0 ? ? 2? x ? x ?? y

——主*面的位置 (? 0 ; ——最大切应力 所在的位置 ?1 ? ? 0 ? 450
?y

? ? 0 ? ? 0 ? 90 0 )
? ?1 ? ?1 ? 90 0 )

? x ?? y tan 2?1 ? 2? x

(?1 ;

? min
?x

? max
?x

? max

? min
? min
?y

? max

?0

例:如图所示单元体,求图示 斜截面的应力及主应力、主*面。
60 解:1、求斜截面的应力 ? x ? ?40 MPa, ? y ? 60 MPa, 40 300 (单位:MPa)
??

50

? x ? ?50 MPa, ? ? ?30 ? ? x ?? y ? x ?? y ?? ? ? cos 2? ? ? x sin 2? 2 2 ? 40 ? 60 ? 40 ? 60 ? ? cos(?60 0 ) 2 2 ? (?50) sin(?60 0 ) ? ?58.3( MPa)

??

?? ?

? x ?? y

2 ? 40 ? 60 ? sin(?60 0 ) ? (?50) cos(?60 0 ) 2 ? 18.3( MPa)

sin 2? ? ? x cos 2?

2、求主应力、主*面
主*面位置:

? x ? ?40 MPa, ? y ? 60 MPa, ? x ? ?50 MPa, ? ? ?30 ?
tg 2? 0 ? ? 2? xy

?y

?1
? 0 ? 90 ?

40 50

?x

?x

x

? x ?? y

?3

? 2(?50) ? ? ?1 ? 40 ? 60

(单位:MPa) 60 ? x ?? y ? x ?? y 2 2 ? max ? ? ( ) ?? x 主应力:
min

? ? 0 ? ?22.5?

2

2

?? 80.7( MPa) ? 40 ? 60 ? 40 ? 60 2 2 ? ? ( ) ? (?50) ? ? 2 2 ?? 60.7( MPa)

? ? 1 ? 80.7 ( MPa), ? 2 ? 0, ? 3 ? ?60.7 ( MPa)

*面应力的应力状态分析 — 图解法
一、应力圆:
? x ?? y ? x ?? y ? ? cos 2? ? ? x sin 2? ?? ? ? ? 2 2 ? ?? ? ? x ? ? y sin 2? ? ? cos 2? x ? ? 2 ?
y ?x

?y

?y
??

??

对上述方程消参数(2?),得:

o

?x

?x

x

? x ?? y 2 2 ? x ?? y 2 2 (? ? ? ) ?? ? ? ( ) ?? x 2 2
这个方程恰好表示一个圆,这个圆称为应力圆
圆心:

?y

(

? x ?? y
2

,0)

半径:

R? (

? x?? y
2

) ?? x
2

2

应力圆:

? x ?? y 2 2 ? x ?? y 2 2 (? ? ? ) ?? ? ? ( ) ?? x 2 2

?

R C
? x ?? y 2

? x ?? y 2 2 R? ( ) ?? x 2

?
应力圆上任一点 的横、纵坐标分别对 应该点某一截面上正 应力和切应力

二.应力圆的画法

y ? y D’

?y

?
?x
x

R? (

? x ?? y
2

)2 ? ? 2 x

D

?x

R
c

D (?x ,?x)

(?y ,?y)
? x ?? y
2

D’

?

绘制步骤:
1、取直角坐标系—— o? ?

? x ?? y ? ?? ? ? ? 2 ?
0

? ?? x ?? y 2 ? ??? ? ? ? ? 2 ? ?
2

? 2 ? ?? x ? ?

2

2、取比例尺(严格按比例做图)。

* * MPa

OB2 ? ? y ,
B2 D' ? ? y ,

3、找点

D(? x ,? ,) x

D?(? y.? y ) ,

OB1 ? ? x , B1D ? ? x ,

4、连 DD? 交? 轴于 C 点,以C为圆心,CD 为半径画圆——应力圆。

?y
y ?x

?
?y
B2
C

D (? x ,? x )

?
B1

o

?x
x

?x

o
(? y ,? y )

?y

D’

三、证明:
OC ? OB1 ? B1C OB1 ? OB2 ? OB1 ? 2 ? x ?? y ? x ?? y ??x ? ? 2 2 ? ?? y 证得圆心位置: ( x ,0) 2
2 1 2

?
A2 B2

D (? x ,? x )
C

A1 B1

?

o
(? y ,? y )

D’

R ? CD ? CB ? ( B1 D) ? (
证得半径为:
R? (

? x ?? y
2
2

)2 ? ? 2 x

? x?? y
2

)2 ? ? x

四、图解法的应用 1、求斜截面上应力 ? ? , ? ?
以D为基点,转2? 的圆心 角至E点—— E (? ? ,? ? ) ,转向 与单元体面转过的方向相同。 2、主应力

?

(? ? ,? ? ) E
2?

D(? ,? ) x x
2? 0

A2

B2
C

A1

?

o
D' (? y ,? y )
y ?x

B1

? max ? OA1
3、主*面位置

? min ? OA2

? 1,? 2 ,? 3

?y

?y
??

??

以D为基点,转到 A1点,其圆心角为 2?0 ,逆时针时?0为“+”;顺时针时 o ?0 为“-”。(?0——主*面的位置)。

?x

?x

x

?y

4、切应力的极值及所在位置

? max ? CG1 ? min ? CG2
以D为基点,转到G1点, 其圆心角为2? 1 。 由应力圆可证明—— 最大正应力与最大剪应力? y

?

(? ? ,? ? )

E

G1
2?

2?1
2? 0

D
A1 B1

A2

B2

?

o
D'

C

所在*面相差450
y ?x

? y? 2

G2
y ?x

?y

?y
? max

o

?x
x

?0 ? x

?y

?1

o

? min?
x

?x
x

?y

证明:( 2α 角的关系)

?
C

E
2α D

? ? ? OF ? OC ? CF ? OC ? CE cos(2? 0 ? 2? ) A2 B2 ? OC ? CE cos 2? 0 cos 2? o ? CE sin 2? 0 sin 2? D/ ? OC ? CD cos 2? 0 cos 2? ? CD sin 2? 0 sin 2? ? OC ? CB1 cos 2? ? DB1 sin 2? ? x ?? y ? x ?? y ? ? cos 2? ? ? x sin 2?
2 2

2α0 A1 F B1

?

? ? ? EF ? CE sin(2? 0 ? 2? ) ? CD sin 2? 0 cos 2? ? CD cos 2? 0 sin 2? ? x ?? y ? sin 2? ? ? x cos 2? 证毕
2

例:求 1)图示单元体? ? 300 斜截面上的应力 2)主应力、主*面(单位:MPa)。 40 解:1、按比例画此单元体对应的应力圆 τ
?0
60 80
0 20

D’
A2

E (? , ? ) 30 30

60
O C
2? 0 F

A1

σ

2、量出所求的物理量

? 30 ? OF ; ? 30 ? EF.
0 0

D

? 1 ? OA1 ; ? 2 ? 0; ? 3 ? OA2 .
?DCA1 ?0 ? . 2

?x
B A

?
b
2×45?

D E

d o

?
a

c
2×45?

?x

e

D

?
B E

? 1= ?

?

? 3= ?
2×45?

?
a (0,? )

A

e

c o
2×45?

b

?

? 1= ?

B

? 3= ?

E
主应力单元体

d (0,-? )

梁的主应力及其主应力迹线
F y q
1 2 3 4 5
? Fs S z My ?x ? , ?x ? b Iz Iz

?y ?0

o

x

?? 1 ? x ?x 2 2 ? ( )?? x ? ? 2 ?? 3 2

1

?x ?xy
?x

3

?x
4

?x
5

2

?x

?x

梁的主应力及其主应力迹线
F y q
1 2 3 4 5

1

?x

o

??
x 1

?3
?x

?3
4

o

??
?x

2

?x

3

??
2
o

?1
3 o

?x
??

??

?x ?x ?1
4

5

??
o

??
5 o

??

??

??

主应力迹线(Stress Trajectories): 主应力方向线的包洛线——曲线上每一点 的切线都指示着该点的主拉应力方位(或 主压应力方位)。

实线表示主拉应力迹线; 虚线表示主压应力迹线。

?3

?1

?3

?1

y
1 2 3 4 i n

主应力迹线的画法:

x

1 2 3 4 截面截面截面截面

i 截面

n 截面

4 空间应力的应力状态分析 — 一点的最大应力

?

o
y y

?3

?2

?
?1

x

z

与?3*行的斜截面上的应力可在?1、?2 应力圆的圆周上找到对应的点。 与?2*行的斜截面上的应力可在?1、?3 应力圆的圆周上找到对应的点。 与?1*行的斜截面上的应力可在?2、?3 应力圆的圆周上找到对应的点。

??
?2

? max
??
?1

o
图a

?3

结论 —— 1).弹性理论证明,图a单元体内任意截面上的应力都对 应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。 2).整个单元体内的最大切应力为: ? 13 ?

图b

?1 ? ? 3
2

? ? max

3):整个单元体内的最大切应力所在的*面: ?3

y
?2
?1

?1

? 13

? 13 ?

?1 ? ? 3
2

? ? max

z

?2

x

(? 1 , ? 3 , ? 13 ) ? ? 2

?2

?3

??
?2

o

?3

??
?1

例 用应力圆求图a所示应力状态的主应力、主*面, 最大切应力?max及作用面。
y 20MPa 20MPa 40MPa 20MPa z x

20
20 40

(a)

(b)

解:由图示应力状态可知 ? z=20MPa为一主应力, 与该应力*行的斜截面上的应力与其无关。
可由图b所示的*面应力状态来确定另两个主应力。

用应力圆求主应力、主*面,最大切应力?max及作用面。 y 图b所示应力状态对应的应力圆 ?
(c)
20MPa 20MPa 40MPa 20MPa z x

D2
B

A

O C

2? 0

?

(a)
20 20 40

由此可得:
2? 0 ? 34 ?
?3 ?1

D1

? max ? OA ? 46 MPa

? min ? OB ? ?26 MPa

由此可知:
(b)

? 1 ? 46MPa ? 2 ? 20MPa ? 3 ? ?26 MPa

y 20MPa 20MPa 40MPa 20MPa z x

? 1 ? 46MPa

? 2 ? 20MPa
? 3 ? ?26 MPa
?
(d) D2 A O C D1 B

(a) (c) D2

?

2? 0 ? 34 ?
A
O C
2? 0

? max ? ?3 ?2 ?1

? min ? ?26MPa

? max ? 46 MPa

?

D1

?3

?1

依据三个主应力值可绘出三个应力圆

?
(d)
D2 B

y 20MPa

? max

20MPa

A
O

C D1

?
20MPa z

40MPa x

?3

?2

?1

(a)

?3 ?1

最大切应力对应于B点的纵坐标,即

?max ?2

17° x

? max ? BC ?

?1 ? ? 3
2

? 36 MPa
(e)

作用面与?2*行而与?1成45°角,如图e所示。

*面应力状态作为三向应力状态的特例

?
200

?max
?2

300

?3

?1

?

o
50

?
200 50 300

?3

?2

?1
O

?

50

?

300
50

?3 ?2
O

?
?1

§5

广义胡克定律
?

一、单向应力状态:

?
?1 ?1

?

E ? ? ? ? ? ?? ? ? ? E 二、三向应力状态:

? ? E? ? ? ?

1 ?1 ? ?? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 )? E 1 ? 2 ? ?? 2 ? ? (? 3 ? ? 1 )? E 1 ? 3 ? ?? 3 ? ? (? 1 ? ? 2 )? E

?2

+
?1

?2

?3

?1

?2

+

?3

?3

?2

——(广义虎克定律)

可以证明主应力与主应变方向一致

?

§5

广义胡克定律
?

一、单向应力状态:

?
?1 ?1

?

E ? ? ? ? ? ?? ? ? ? E 二、三向应力状态:

? ? E? ? ? ?

1 ?1 ? ?? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 )? E 1 ? 2 ? ?? 2 ? ? (? 3 ? ? 1 )? E 1 ? 3 ? ?? 3 ? ? (? 1 ? ? 2 )? E
——(广义虎克定律)

?2

+
?1

?2

?3

?1

?2

+

?3

?3

?2

?

三、、广义胡克定律的一般形式:

?z

? zx
?x

? xz

? zy ? yz

? xy? yx

?y

1 ? x ? [? x ? ? (? y ? ? z )] E 1 ? y ? [? y ? ? (? z ? ? x )] E 1 ? z ? [? z ? ? (? x ? ? y )] E ? xy ? xy ? G ? yz ? yz ? G ? zx ? zx ? G

可以证明主应力与主应变方向一致

广义胡克定律的应用——求*面应力状态下任意方向 的正应变:
?y
??90

?x
? xy

?

1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ?90? E

?

?

求出 ? ? , ? ? ?90? ,就可求得 ? 方向的正应变 ? ?

例 槽形刚体内放置一边长为a = 10 cm 正方形钢块,试求钢块 的三个主应力。F = 8 kN,E = 200 GPa, μ = 0.3。

Fy

解:1) 研究对象:

正方形钢块

F ? y ? ? ? ?80 MPa, ? x ? ?, ? z ? 0. A ? x ? 0, ? y ? ?, ? z ? ? .

2)由广义虎克定律:
?y
1 [? x ? ? (? y ? ? z )] E 1 0 ? [? x ? ?? y ]. ?x E ? ? x ? ?? y ? ?24 MPa

?x ?

y

?x

x

?y

z

? 1 ? 0 MPa, ? 2 ? ?24 MPa, ? 3 ? ?80 MPa.

例:已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为:
?1 = 240 ?10-6, ?3= -160?10-6,弹性模量E=210GPa,泊松比 为 ?=0.3, 试求该点处的主应力及另一主应变。 解:自由面上 ? z ? 0

,所以该点处的*面应力状态
1 ?x ? ? x ? ? ? y ??z E 1 ?y ? ? y ? ? ?? z ? ? x ? E 1 ?z ? ?z ? ? ? x ?? y E 1 ?x ? ? x ? ?? y E 1 ?y ? ? y ? ?? x E

?y ?x

?

?

??

?

?

?

?

??

注意:

1 ? z ? ? (? x ? ? y ) ? 0 E

? ?

? ?

例:已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为:
?1 = 240 ?10-6, ?3= -160?10-6,弹性模量E=210GPa,泊松比 为 ?=0.3, 试求该点处的主应力及另一主应变。 ?y ?x

?x ?y

1 ? ? x ? ?? y E 1 ? ? y ? ?? x E

? ?

? ?

E 210 ? 10 9 ?? x ? ? x ? ?? y ? (240 ? 0.3 ? 160 ) ? 10 ?6 1? ? 2 1 ? 0 .3 2 ? 44 .3MPa

?

?

E 210 ? 10 9 ?? y ? ? y ? ?? x ? (?160 ? 0.3 ? 240 ) ? 10 ?6 1? ? 2 1 ? 0.32 ? ?20 .3MPa

?

?

例:已知一受力构件自由表面上某一点处的两个面内主应变分别为:

?1 = 240 ?10-6, ?3= -160?10-6,弹性模量E=210GPa,泊松比为 ?=0.3, 试求该点处的主应力及另一主应变。
?y ?x
E ?x ? ? x ? ?? y ? 44.3MPa 2 1? ? E ?y ? ? y ? ?? x ? ?20.3MPa 2 1? ?

?

?

?

?

??1 ? 44.3 MPa ; ? 2 ? 0; ? 3 ? ?20.3 MPa ;

? 0.3 ? 2 ? ? ?? 3 ? ? 1 ? ? ? (?22.3 ? 44.3) ?10 6 E 210 ?10 9 ? ?34.3 ?10 ?6

例:如图所示拉杆,横截面为圆形D=2cm,E=2.1×106 MPa, ? ? 0.28, ? 60? ? 4.1?10 ?4。求:F。
y

解:1、取单元体: ? y ? 600 x

F . A

? x ? 0, ? x ? 0.

2、广义胡克定律(应力与应变关系)
1 ? 600 ? ?? 600 ? ?? 1500 ? E ? x ?? y ? x ?? y 由 ?? ? ? cos 2? ? ? x sin 2? 2 2 ? y ?? y 3 ?y ? ? cos120 0 ? ? y ? 60? ? (3 ? ? ) 2 2 4 4E ? y ?? y 1 ? ? cos(300 0 ) ? ? y F 2 2 4 ? ? ? (3 ? ? )
60

A

F σy A
? 60
0

? 150

0

4 EA

3、外力的确定: F = 3980(kN)

例:如图所示空心圆轴,外经D = 120 mm,内经d = 80 mm, E=2.0 × 105 MPa,μ= 0.28,ε450=2.0 ×10-4。求:m。 T m ?? ? 解:1、取单元体 m WP WP 450 2、广义胡克定律(应力与应变关系)

? 45
450

0

? 450
x

1 (1 ? ? )m (1 ? ? )? ? ? ?? 450 ? ?? ?450 ? ? E EWP E

? ? 450 ? ? ;
3、外力的确定

? ?450 ? ??

τ

?

m = 8504(Nm)

五、形状改变比能: 单元体的比能 (单位体积储存的变形能):

?2
?1
dx

1 1 1 v? ? ? 1?1 ? ? 2? 2 ? ? 3? 3 2 2 2
利用广义虎克定律:

dy

?3

1 2 2 2 v? ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? 2? ??1? 2 ? ? 3? 2 ? ?1? 3 ? 2E

?

?

单元体的比能:v ? 1 ? ? ? 1 ? ? ? 1 ? ? ?1 ? 1 1 2 2 3 3
1 2 ? ? 12 ? ? 2 ? ? 32 ? 2? ?? 1? 2 ? ? 3? 2 ? ? 1? 3 ? 2E

?

2

2

2

?

?2 ?3
图a

?m

? 1 -? m

?1 ? ?1 ? ? m ? ? m ,
? 2 ? ? 2 ?? m ?? m,
? 3 ? ? 3 ?? m ? ? m.

?m
?m
图b

? 2 -? m ? 3 -? m
图c

?m ?

?1 ? ? 2 ? ? 3
3

v?a ? v?b ? v?c ,
图 c ?

图 b 体积改变, 形状不变;

?1

?m

?1 ? ? m
?m

?2
?3
图a

?
?m
图b

?
?3 ?? m

? 2 ?? m

图 C 单元体的体积应变: ? c ?

所以图 C 单元体体积不变,只有形状改变 图 a 单元体的体积应变:

1 ? 2? (? 1 ? ? m ? ? 2 ? ? m ? ? 3 ? ? m ) E 1 ? 2? ? (? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? 3? m ) ? 0, E

图c

3(1 ? 2? ) ?a ? ? m ? ?b , E

单元体的比能 = 体积改变比能(b)+形状态改变比能(c)

v? ? vv ? vd

vv — 称为体积改变比能 vd — 称为形状改变比能

?2 ?2
?3

?m

?1 ? ? m
?m

?
?m
图b

?
?3 ?? m

? 2 ?? m

图a

图c

b图的体积应变比能:
1 3? m 1 ? 2? 2 vv ? 3( ? m ? ? m ) ? ? ? m ? 3(1 ? 2? ) ? m 2E 2 2 E 1 ? 2? ? vv ? (? 1 ? ? 2 ? ? 3 ) 2 . 6E 形状改变比能 或 畸形能 vd ? v? ? vv
1? ? ??1 ? ? 2 ?2 ? ?? 2 ? ? 3 ?2 ? ?? 3 ? ?1 ?2 vd ? 6E

?

?

§11 -6
强度理论:

强度理论概念

人们根据大量的破坏现象,通过判断推理、概括,提出了种种 关于破坏原因的假说,找出引起破坏的主要因素,经过实践检验, 不断完善,在一定范围与实际相符合,上升为理论(为了建立复杂 应力状态下的强度条件,而提出的关于材料破坏原因的假设及计算 方法) 。

构件在静载荷作用下的两种失效形式:
(1) 脆性断裂:材料无明显的塑性变形即发生断裂,断面较粗 糙,且多发生在垂直于最大正应力的截面上,如铸铁受拉、扭, 低温脆断等。 (2) 塑性屈服(流动):材料破坏前发生显著的塑性变形, 破坏断面粒子较光滑,且多发生在最大切应力面上,例如低 碳钢拉、扭。

本章介绍常用的四个经典强度理论

§7

四个经典强度理论

莫尔强度理论

1. 最大拉应力理论(第一强度理论)
材料发生脆性断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值

?1 ? ?

0

? 1 -构件危险点的最大拉应力

?

0

-极限拉应力,由单向拉伸实验测得

? 0 ??b

断裂条件
强度条件

?1 ? ?b
?1 ? ?b
n ? ?? ?

2. 最大伸长拉应变理论(第二强度理论)
无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于最大 拉应变(线变形)达到极限值导致的。

?1 ? ? 0
? 1 -构件危险点的最大伸长线应变 ? 1 ? [? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 )] / E

?

0 -极限伸长线应变,由单向拉伸实验测得

?0 ??b / E

断裂条件
即 强度条件

?b 1 [? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 )] ? E E

? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 ) ? ? b
?b ? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 ) ? ? [? ] n

3. 最大切应力理论(第三强度理论)
无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于最大切应 力达到了某一极限值。

? max ? ?

0

? max

-构件危险点的最大切应力

? max ? (? 1 ? ? 3 ) / 2

?0

-极限切应力,由单向拉伸实验测得

?0 ??s /2

屈服条件
强度条件

?1 ?? 3 ?

?s
ns

? ?? ?

实验表明:此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较 为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不易发生塑性变

形或断裂的事实。

4. 形状改变比能理论(第四强度理论)
无论材料处于什么应力状态,只要发生屈服,都是由于单元体的最大形状 改变比能达到一个极限值。

vd ? v

0 d

? d -构件危险点的形状改变比能

0 ?d

-形状改变比能的极限值,由单拉实验测得

屈服条件 强度条件
实验表明:对塑性材料,此理论比第三强度理论更符合试验结果,在工程中得到了广泛应用。

结论. 四个强度理论可以概括地表达为: 危险点处的三个主应力的组合 ≤ 轴向拉压的 [? ] 。
的这种组合称为相当应力,用 ? r表示。
主应力的组合可以从不同的强度理论得到。故通常将主应力

强度理论的统一表达式:

? r ? [? ]

? r1 ? ? 1 ? [? ]

? r 2 ? ? 1 ? ? (? 2 ? ? 3 ) ? [? ]

? r 3 ? ? 1 ? ? 3 ? [? ]

四个强度理论的使用范围:
1、一般情况下:
脆性材料采用第一、第二强度理论(断裂破坏);
塑性材料采用第三、第四强度理论(屈服破坏)。

2、三向受拉的应力状态:采用第一、第二强度理论
(断裂破坏)

3、三向受压的应力状态:采用第三、第四强度理论
(屈服破坏)

强度理论的应用——

?x ?x

? max ?
min

?x
2

? (

?x
2

)2 ? ? x ? ?1
2 3

? r 3 ? ? x ? 4? x ? ?? ?
2 2

? r 4 ? ? x ? 3? x ? ?? ?
2 2

? 使用条件:屈服破坏, y ? 0 。

例:求图示单元体第三强度理论的相当应力。 解: 1、主应力的确定 60

50
40

? max ?
min

? x ?? y

(单位:MPa)

2 2 ? 40 ? 60 ? 40 ? 60 2 ? ? ( ) ? (?50) 2 2 2 ?? 80.7( MPa) ?? ?? 60.7( MPa)

? (

? x ?? y

) 2 ? ? xy

2

? ? 1 ? 80.7 ( MPa); ? 2 ? 0 ; ? 3 ? ?60.7 ( MPa) .
2、相当应力的确定

? r 3 ? ? 1 ? ? 3 ? 80.7 ? (?60.7) ? 141 .4(MPa)

例:求图示单元体第三、四强度理论的相当应力。 解: 1、主应力的确定

? 1 ? 20. (MPa); ? 2 ? ?20 ; ? 3 ? ?30.
2、相当应力的确定 ? r 3 ? ? 1 ? ? 3 ? 20 ? (?30) ? 50 (MPa)

20 30
单位:MPa

? r4

1 ? [(? 1 ? ? 2 ) 2 ? (? 2 ? ? 3 ) 2 (? 3 ? ? 1 ) 2 ] 2
1 ?20 ? 20 ?2 ? ?? 20 ? 30 ?2 ? (?30 ? 20) 2 ? 2

?

?

? 45.8(MPa)
?

? r 3 ? 50 (MPa); ? r 4 ? 45.8(MPa)

例:已知铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁拉伸许用应 [?] =30MPa。试:校核该点的强度。 解:1、根据材料和应力状态确定失 效形式,选择设计准则。 脆性断裂,采用最大拉应力理论

? 1 ? [? ]
2、确定主应力并进行强度计算
? max ?
min

? x ?? y
2

? ? x ?? y ? ? ? 2 ?

?29 .28 ? 2 ? ? ? xy ? ? ? ? 3.72 ?

2

.

?1=29.28MPa, ?2=3.72MPa, ?3=0

?1 = 29.28 < [?] = 30MPa. 结论:强度是安全的。

例:如图所示工字型截面梁,已知 [?]=180MPa,[? ] =100MPa 试:全面校核(主应力)梁的强度。

F 0.32m Fs 100kN 100kN

F=100kN 7 x B

Z 88.6 11.4

0.32m

100

I z ? 2370 ?10 4 mm 4
x

Wz ? 237 ?10 3 mm 3 Iz / S
? z max

? 17.2cm

M

32kNm

解:1、画内力图

例:如图所示工字型截面梁,已知 [?]=180MPa,[? ] =100MPa 试:全面校核(主应力)梁的强度。 F F=100kN K

Fs

0.32m
100kN

0.32m x
100kN

Z 7 B 88.6 11.4 x

100

M
? max

32kNm

I z ? 2370 ?10 4 mm 4 Wz ? 237 ?10 3 mm 3 Iz / S
? z max

2、最大正应力校核 ( 上、下边缘处 )
M max 32 ?10 3 ? ? ? 135 ( MPa ) ? ?? ?6 Wz 237 ?10

?

? 17.2cm

3、最大切应力校核 ( 中性层轴 )
? max
Fs max S z?max 100 ? 10 3 ? ? ? 83.1 ( MPa ) ? ? ? Iz b 17.2 ? 10 ? 7

?

例:如图所示工字型截面梁,已知 [?]=180MPa,[? ] =100MPa 试:全面校核(主应力)梁的强度。 F F=100kN K Z

Fs

0.32m
100kN

0.32m
x
100kN

7

B

88.6 11.4

x
32kNm

100 I ? 2370 ?10 4 mm 4 z
Wz ? 237 ?10 3 mm 3 I z / S z max ? 17.2cm
?

M

4、主应力校核(K截面翼缘和腹板交界处B点)

?x

My 32 ? 10 6 ? 88 .6 ? 119 .5( MPa) ?x ? ? 4 Iz 2370 ? 10
? Fs max S z ? 100 ? 10 3 ?107 .5 ?10 3 ?? ? ? ?64.8 ( MPa ) 4 I zb 2370 ?10 ? 7

?x
? z

11.4 S ? 100 ?11.4 ? (88.6 ? ) ? 107 .5 ?10 3 mm 3 2

例:如图所示工字型截面梁,已知 [?] =180MPa, [? ] =100MPa 试:全面校核(主应力)梁的强度。

F 0.32m

F=100kN 7 0.32m B

Z 88.6 11.4

主应力校核(翼缘和腹板交界处)

100
? x ? ?64.8 ( MPa )

?x ?x

? x ? 119 .5(MPa)

? r 3 ? ? x 2 ? 4? xy2? 119 .52 ? 4 ? (?64 .8) 2

? 176 .3( MPa) ? [? ]
? r 4 ? ? x 2 ? 3? x 2 ? 119 .52 ? 3 ? 64.82

结论——满足强度要求。

? 163 .8( MPa)

例 :直径为d = 0.1m的圆杆受力如图, m = 7kNm,F = 50kN,材料 为铸铁构件,[?]=40MPa,试用第一强度理论校核杆的强度。
F
A

m

F

解:危险点A的应力状态如图:
FN 4 ? 50 ?? ? ?10 3 ? 6.37 ( MPa) A ? ? 0.12

m
A

? ?

T 16 ? 7000 ?? ?? ? ?35.7( MPa) 3 WP ? ? 0.1

? max ?
min

?

? ( )2 ? ? 2 ? 2 2

?

6.37 6.37 2 ? ( ) ? (?35.7) 2 ?39 ( MPa) ? 32 2 2

? 1 ? 39MPa,? 2 ? 0,? 3 ? ?32MPa ?

? 1 ? ?? ? 故,安全。

例 :薄壁圆筒受最大内压时,测得 ?x = 1.88?10-4, ?y = 7.37?10-4, 已知钢的 E = 210GPa,[?] = 170MPa,泊松比 ? = 0.3,试用第 三强度理论校核其强度。 解:由广义虎克定律得: yA

x

?y
A

E ?x ? (? x ? ?? y ) 2 1? ? 2.1?10 7 ? (1.88 ? 0.3 ? 7.37 ) ? 94.4MPa 2
1 ? 0.3

?x

E ?y ? (? y ? ?? x ) 2 1? ? 2.1?10 7 (7.37 ? 0.3 ?1.88) ? 183 .1MPa ? 2
1 ? 0.3

? r 3 ? ? 1 ? ? 3 ? 183 .1 MPa ??? ?.

? r 3 ? ?? ? 183 .1 ? 170 ? ? ? 7.7 0 0 ?? ? 170 所以,此容器不满足第三强度理论。不安全

? ? 1 ? 183 .1MPa, ? 2 ? 94.4MPa, ? 3 ? 0

莫尔强度理论
莫尔强度理论(修正的 最大切应力理论) 莫尔认为:最大切应力是

使物体破坏的主要因素,
但滑移面上的摩擦力也不 可忽略(莫尔摩擦定律)。 综合最大剪应力及最大正 应力的因素,莫尔在1882

得出了他自己的强度理论。
? ? ? ? °? ? ? (O.Mohr),1835? 1918 ? ?

两个概念: 1、极限应力圆:各种应力状态下破坏时的应力圆 2、极限曲线:极限应力圆的包络线

极限应力圆

极限应力圆的包络线

*似包络线

1、基本论点:材料是否破坏取决于三向应力圆中的最大应力圆。 (即任意一点的最大应力圆若与极限应力圆的包络线相接触, 则材料即将屈服或剪断)。 ? M 2、破坏条件:

?

K

L

P

[? c]

O2 ? 3

oN
O3 O1

? 1 [? t]
? rM

??

? bt ?1 ? ? 3 ? ? tjx ? bc

3、强度条件:

[? t ] ? ?1 ? ? 3 ? ?? t ? [? c ]

莫尔理论危险条件的推导

4、使用范围:破坏形式为屈服的构件及其拉压极限强度不等

的处于复杂应力状态的脆性材料的破坏(岩石、混凝土等)。


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