武汉市粮道街中学2017届九年级上期中数学试卷含答案解析

发布于:2021-10-22 07:55:36

2016-2017 学年湖北省武汉市粮道街中学九年级(上)期中数学 试卷

一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志,其中是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

2.将一元二次方程 x2+3=x 化为一般形式后,二次项系数和一次项系数分别为( ) A.0、3 B.0、1 C.1、3 D.1、﹣1 3.二次函数 y=(x﹣1)2﹣2 的顶点坐标是( ) A.(﹣1,﹣2) B.(﹣1,2) C.(1,﹣2) D.(1,2) 4.一元二次方程 x2+3=2x 的根的情况为( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数根 D.没有实数根 5.已知关于 x 的方程 x2﹣kx﹣6=0 的一个根为 x=3,则实数 k 的值为( ) A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2 6.用配方法解方程 x2﹣2x﹣5=0 时,原方程应变形为( ) A.(x+1)2=6 B.(x+2)2=9 C.(x﹣1)2=6 D.(x﹣2)2=9 7.如图,在 5×5 正方形网格中,一条圆弧经过 A,B,C 三点,那么这条圆弧所在圆的圆 心是( )

A.点 P B.点 Q C.点 R D.点 M 8.如图,点 P 为⊙O 内一点,且 OP=6,若⊙O 的半径为 10,则过点 P 的弦长不可能为( )

A.17 B.3

C.16 D.15.5

9.如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,其对称轴是 x=﹣1,且过点(﹣3,0),下

列说法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),( ,y2)是抛物线上

两点,则 y1<y2,其中说法正确的是( )

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A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④ 10.如图,四边形 ABCD 中,AC,BD 是对角线,△ABC 是等边三角形.∠ADC=30°,AD=3, BD=5,则 CD 的长为( )
A. B.4 C. D.4.5 二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11.设 a,b 是方程 x2+x﹣9=0 的两个实数根,则 a2+2a+b 的值为 . 12.若点 P 的坐标为(x+1,y﹣1),其关于原点对称的点 P′的坐标为(﹣3,﹣5),则(x, y)为 . 13.一圆的半径是 10cm,圆内的两条*行弦长分别为 12cm 和 16cm,则这两条*行弦之间 的距离为 . 14.如图,四边形 ABCD 中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD 于点 E,且四边形 ABCD 的面积为 8,则 BE= .
15.抛物线 y=a(x﹣4)2﹣4(a≠0)在 2<x<3 这一段位于 x 轴的下方,在 6<x<7 这一 段位于 x 轴的上方,则 a 的值为 . 16.我们把 a、b 两个数中较小的数记作 min{a,b},直线 y=kx﹣k﹣2(k<0)与函数 y=min{x2 ﹣1、﹣x+1}的图象有且只有 2 个交点,则 k 的取值为 . 三、解答题(共 8 题,共 72 分) 17.解方程:x2+x﹣3=0. 18.如图,A、B 是⊙O 上两点,C、D 分别在半径 OA、OB 上,若 AC=BD,求证:AD=BC.
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19.已知抛物线的顶点为(1,﹣4),且过点(﹣2,5). (1)求抛物线解析式; (2)求函数值 y>0 时,自变量 x 的取值范围. 20.已知 x1、x2 是一元二次方程 2x2﹣2x+1﹣3m=0 的两个实数根,且 x1、x2 满足不等式 x1?x2+2 (x1+x2)>0,求实数 m 的取值范围. 21.在*面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(﹣2,1),B(﹣4,5),C(﹣ 5,2). (1)画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1; (2)画出△ABC 关于原点 O 成中心对称的△A2B2C2; (3)求△A2B2C2 的面积.
22.进入冬季,我市空气质量下降,多次出现雾霾天气.商场根据市民健康需要,代理销售 一种防尘口罩,进货价为 20 元/包,经市场销售发现:销售单价为 30 元/包时,每周可售出 200 包,每涨价 1 元,就少售出 5 包.若供货厂家规定市场价不得低于 30 元/包,且商场每 周完成不少于 150 包的销售任务. (1)试确定周销售量 y(包)与售价 x(元/包)之间的函数关系式; (2)试确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润 w(元)与售价 x(元/包)之间的函 数关系式,并直接写出售价 x 的范围; (3)当售价 x(元/包)定为多少元时,商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润 w(元) 最大?最大利润是多少? 23.【问题提出】 如图①,已知△ABC 是等腰三角形,点 E 在线段 AB 上,点 D 在直线 BC 上,且 ED=EC, 将△BCE 绕点 C 顺时针旋转 60°至△ACF 连接 EF 试证明:AB=DB+AF 【类比探究】 (1)如图②,如果点 E 在线段 AB 的延长线上,其他条件不变,线段 AB,DB,AF 之间 又有怎样的数量关系?请说明理由 (2)如果点 E 在线段 BA 的延长线上,其他条件不变,请在图③的基础上将图形补充完整, 并写出 AB,DB,AF 之间的数量关系,不必说明理由.
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24.已知如图 1,在以 O 为原点的*面直角坐标系中,抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A、 B 两点,与 y 轴交于点 C(0,﹣1),连接 AC,AO=2CO,直线 l 过点 G(0,t)且*行于 x 轴,t<﹣1, (1)求抛物线对应的二次函数的解析式; (2)若 D 为抛物线 y= x2+bx+c 上一动点,是否存在直线 l 使得点 D 到直线 l 的距离与 OD 的长恒相等?若存在,求出此时 t 的值; (3)如图 2,若 E、F 为上述抛物线上的两个动点,且 EF=8,线段 EF 的中点为 M,求点 M 纵坐标的最小值.
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2016-2017 学年湖北省武汉市粮道街中学九年级(上)期 中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志,其中是中心对称图形的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】中心对称图形. 【分析】根据中心对称图形的定义,结合选项所给图形进行判断即可. 【解答】解:A、不是中心对称图形,故本选项错误; B、是中心对称图形,故本选项正确; C、不是中心对称图形,故本选项错误; D、不是中心对称图形,故本选项错误; 故选 B.
2.将一元二次方程 x2+3=x 化为一般形式后,二次项系数和一次项系数分别为( ) A.0、3 B.0、1 C.1、3 D.1、﹣1 【考点】一元二次方程的一般形式. 【分析】首先移项进而得出二次项系数和一次项系数即可. 【解答】解:∵x2+3=x, ∴x2﹣x+3=0, ∴二次项系数和一次项系数分别为:1,﹣1. 故选:D.
3.二次函数 y=(x﹣1)2﹣2 的顶点坐标是( ) A.(﹣1,﹣2) B.(﹣1,2) C.(1,﹣2) D.(1,2) 【考点】二次函数的性质. 【分析】已知解析式为抛物线的顶点式,根据顶点式的坐标特点,直接写出顶点坐标. 【解答】解:因为 y=(x﹣1)2﹣2 是抛物线的顶点式, 根据顶点式的坐标特点,顶点坐标为(1,﹣2). 故选 C.
4.一元二次方程 x2+3=2x 的根的情况为( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有一个实数根 D.没有实数根 【考点】根的判别式. 【分析】先把方程化为一般式,再计算判别式,然后根据判别式的意义判断方程根的情况即 可.
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【解答】解:∵方程化为一般式得 x2﹣2x+3=0, ∴△=(﹣2)2﹣4×1×3=﹣8<0, ∴方程没有实数根. 故选 D.
5.已知关于 x 的方程 x2﹣kx﹣6=0 的一个根为 x=3,则实数 k 的值为( ) A.1 B.﹣1 C.2 D.﹣2 【考点】一元二次方程的解. 【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解,就是能够使方程左右两边相等的未知数 的值.即用这个数代替未知数所得式子仍然成立. 【解答】解:因为 x=3 是原方程的根,所以将 x=3 代入原方程,即 32﹣3k﹣6=0 成立,解 得 k=1. 故选:A.
6.用配方法解方程 x2﹣2x﹣5=0 时,原方程应变形为( ) A.(x+1)2=6 B.(x+2)2=9 C.(x﹣1)2=6 D.(x﹣2)2=9 【考点】解一元二次方程-配方法. 【分析】配方法的一般步骤: (1)把常数项移到等号的右边; (2)把二次项的系数化为 1; (3)等式两边同时加上一次项系数一半的*方. 【解答】解:由原方程移项,得 x2﹣2x=5, 方程的两边同时加上一次项系数﹣2 的一半的*方 1,得 x2﹣2x+1=6 ∴(x﹣1)2=6. 故选:C.
7.如图,在 5×5 正方形网格中,一条圆弧经过 A,B,C 三点,那么这条圆弧所在圆的圆 心是( )
A.点 P B.点 Q C.点 R D.点 M 【考点】垂径定理. 【分析】作 AB 和 BC 的垂直*分线,它们相交于 Q 点,根据弦的垂直*分线经过圆心,即 可确定这条圆弧所在圆的圆心为 Q 点. 【解答】解:连结 BC, 作 AB 和 BC 的垂直*分线,它们相交于 Q 点.
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故选 B.

8.如图,点 P 为⊙O 内一点,且 OP=6,若⊙O 的半径为 10,则过点 P 的弦长不可能为( )

A.17 B.3

C.16 D.15.5

【考点】垂径定理;勾股定理.

【分析】首先求出过 P 点的弦长的取值范围,然后再判断 4 个选项中不符合要求的弦长.

【解答】解:过 P 作 AB⊥OP,交⊙O 于 A、B,连接 OA;

Rt△OAP 中,OA=10,OP=6;

根据勾股定理,得:AP=

=

=8;

∴AB=2AP=16; ∴过 P 点的弦长应该在 16~20 之间. 故选 D.

9.如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,其对称轴是 x=﹣1,且过点(﹣3,0),下 列说法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),( ,y2)是抛物线上 两点,则 y1<y2,其中说法正确的是( )

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A.①② B.②③ C.①②④ D.②③④ 【考点】二次函数图象与系数的关系. 【分析】根据抛物线开口方向得到 a>0,根据抛物线的对称轴得 b=2a>0,则 2a﹣b=0,则 可对②进行判断;根据抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方得到 c<0,则 abc<0,于是可对① 进行判断;由于 x=2 时,y>0,则得到 4a+2b+c>0,则可对③进行判断;通过点(﹣5,y1) 和点( ,y2)离对称轴的远*对④进行判断. 【解答】解:∵抛物线开口向上, ∴a>0, ∵抛物线对称轴为直线 x=﹣ =﹣1, ∴b=2a>0,则 2a﹣b=0,所以②正确; ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方, ∴c<0, ∴abc<0,所以①正确; ∵x=2 时,y>0, ∴4a+2b+c>0,所以③错误; ∵点(﹣5,y1)离对称轴要比点( ,y2)离对称轴要远, ∴y1>y2,所以④错误. 故选 A.
10.如图,四边形 ABCD 中,AC,BD 是对角线,△ABC 是等边三角形.∠ADC=30°,AD=3, BD=5,则 CD 的长为( )
A. B.4 C. D.4.5 【考点】等边三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;勾股定理. 【分析】首先以 CD 为边作等边△CDE,连接 AE,利用全等三角形的判定得出△BCD≌△ ACE,进而求出 DE 的长即可.
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【解答】解:如图,以 CD 为边作等边△CDE,连接 AE. ∵∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE, ∴在△BCD 和△ACE 中,



∴△BCD≌△ACE(SAS), ∴BD=AE. 又∵∠ADC=30°, ∴∠ADE=90°. 在 Rt△ADE 中,AE=5,AD=3,

于是 DE=



∴CD=DE=4. 故选:B.

二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 11.设 a,b 是方程 x2+x﹣9=0 的两个实数根,则 a2+2a+b 的值为 8 . 【考点】根与系数的关系;一元二次方程的解. 【分析】由于 a2+2a+b=(a2+a)+(a+b),故根据方程的解的意义,求得(a2+a)的值,由 根与系数的关系得到(a+b)的值,即可求解. 【解答】解:∵a 是方程 x2+x﹣9=0 的根, ∴a2+a=9; 由根与系数的关系得:a+b=﹣1, ∴a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=9+(﹣1)=8. 故答案为:8.
12.若点 P 的坐标为(x+1,y﹣1),其关于原点对称的点 P′的坐标为(﹣3,﹣5),则(x, y)为 (2,6) . 【考点】关于原点对称的点的坐标. 【分析】根据两个点关于原点对称时,它们的坐标符号相反可得 x+1=3,y﹣1=5,解可得 x、 y 的值,进而可得答案. 【解答】解:由题意得:x+1=3,y﹣1=5, 解得:x=2,y=6, 则(x,y)为(2,6), 故答案为:(2,6).
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13.一圆的半径是 10cm,圆内的两条*行弦长分别为 12cm 和 16cm,则这两条*行弦之间 的距离为 14cm 或 2cm . 【考点】垂径定理;*行线的性质;勾股定理. 【分析】过 O 作 MN⊥AB 于 M,交 CD 于 N,连接 OB,OD,有两种情况:①当 AB 和 CD 在 O 的两旁时,根据垂径定理求出 BM,DN,根据勾股定理求出 OM,ON,相加即可; ②当 AB 和 CD 在 O 的同旁时,ON﹣OM 即可. 【解答】解:有两种情况:①如图,当 AB 和 CD 在 O 的两旁时, 过 O 作 MN⊥AB 于 M,交 CD 于 N,连接 OB,OD, ∵AB∥CD, ∴MN⊥CD,

由垂径定理得:BM= AB=8cm,DN= CD=6cm,

∵OB=OD=10cm,

由勾股定理得:OM=

=6cm,

同理 ON=8cm, ∴MN=8cm+6cm=14cm, ②当 AB 和 CD 在 O 的同旁时,MN=8cm﹣6cm=2cm, 故答案为:14cm 或 2cm.

14.如图,四边形 ABCD 中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD 于点 E,且四边形

ABCD 的面积为 8,则 BE=



【考点】全等三角形的判定与性质. 【分析】运用割补法把原四边形转化为正方形,求出 BE 的长. 【解答】解:过 B 点作 BF⊥CD,与 DC 的延长线交于 F 点, ∵∠FBC+∠CBE=90°,∠ABE+∠EBC=90°, ∴∠FBC=∠ABE,
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在△BCF 和△BEA 中
∴△BCF≌△BEA(AAS), 则 BE=BF,S 四边形 ABCD=S 正方形 BEDF=8, ∴BE= =2 . 故答案为 2 .
15.抛物线 y=a(x﹣4)2﹣4(a≠0)在 2<x<3 这一段位于 x 轴的下方,在 6<x<7 这一 段位于 x 轴的上方,则 a 的值为 1 . 【考点】抛物线与 x 轴的交点. 【分析】根据抛物线顶点式得到对称轴为直线 x=4,利用抛物线对称性得到抛物线在 1<x <2 这一段位于 x 轴的上方,而抛物线在 2<x<3 这一段位于 x 轴的下方,于是可得抛物线 过点(2,0),然后把(2,0)代入 y=a(x﹣4)2﹣4(a≠0)可求出 a 的值. 【解答】解:∵抛物线 y=a(x﹣4)2﹣4(a≠0)的对称轴为直线 x=4, 而抛物线在 6<x<7 这一段位于 x 轴的上方, ∴抛物线在 1<x<2 这一段位于 x 轴的上方, ∵抛物线在 2<x<3 这一段位于 x 轴的下方, ∴抛物线过点(2,0), 把(2,0)代入 y=a(x﹣4)2﹣4(a≠0)得 4a﹣4=0,解得 a=1. 故答案为:1.
16.我们把 a、b 两个数中较小的数记作 min{a,b},直线 y=kx﹣k﹣2(k<0)与函数 y=min{x2 ﹣1、﹣x+1}的图象有且只有 2 个交点,则 k 的取值为 2﹣2 或﹣ 或﹣1 . 【考点】二次函数与不等式(组). 【分析】结合 x 的范围画出函数 y=min{x2﹣1、﹣x+1}图象,由直线 y=kx﹣k﹣2(k<0) 与该函数图象只有两个交点且 k<0,判断直线的位置得①直线 y=kx﹣k﹣2 经过点(﹣2, 3)时可以求出 k;②直线 y=kx﹣k﹣2 与函数 y=x2﹣1 相切时,可以求出 k. 【解答】解:根据题意,x2﹣1<﹣x+1,即 x2+x﹣2<0, 解得:﹣2<x<1, 故当﹣2<x<1 时,y=x2﹣1; 当 x≤﹣2 或 x≥1 时,y=﹣x+1; 函数图象如下:
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由图象可知,∵直线 y=kx﹣k﹣2(k<0)与函数 y=min{x2﹣1、﹣x+1}的图象有且只有 2 个交点,且 k<0,
①直线 y=kx﹣k﹣2 经过点(﹣2,3)时,3=﹣2k﹣k﹣2,k=﹣ ,此时直线 y=﹣ x﹣ , 与函数 y=min{x2﹣1、﹣x+1}的图象有且只有 2 个交点.

②直线 y=kx﹣k﹣2 与函数 y=x2﹣1 相切时,由

消去 y 得 x2﹣kx+k+1=0,∵

△=0,k<0, ∴k2﹣4k﹣4=0, ∴k=2﹣2 (或 2+2 舍弃),此时直线 y=(2﹣2 )x﹣4+2 与函数 y=min{x2﹣1、 ﹣x+1}的图象有且只有 2 个交点. ③直线 y=kx﹣k﹣2 和直线 y=﹣x+1 *行,k=﹣1,直线为 y=﹣x﹣1 与函数 y=min{x2﹣1、 ﹣x+1}的图象有且只有 2 个交点.
综上,k=2﹣2 或﹣ 或﹣1.

故答案为:2﹣2 或﹣ 或﹣1.

三、解答题(共 8 题,共 72 分) 17.解方程:x2+x﹣3=0. 【考点】解一元二次方程-公式法. 【分析】根据方程的特点可直接利用求根公式法比较简便,首先确定 a,b,c 的值,然后检 验方程是否有解,若有解,代入公式即可求解. 【解答】解:∵a=1,b=1,c=﹣3, ∴b2﹣4ac=1+12=13>0,

∴x=



∴x1=

,x2=



18.如图,A、B 是⊙O 上两点,C、D 分别在半径 OA、OB 上,若 AC=BD,求证:AD=BC.

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【考点】全等三角形的判定与性质;圆的认识. 【分析】由 AC=BD 知,OC=OD,可得△OAD≌△OBC,即可证得 AD=BC. 【解答】证明:∵OA=OB,AC=BD, ∴OC=OD. 又∵∠COB=∠DOA,OA=OB, ∴△OAD≌△OBC, ∴AD=BC.

19.已知抛物线的顶点为(1,﹣4),且过点(﹣2,5). (1)求抛物线解析式; (2)求函数值 y>0 时,自变量 x 的取值范围. 【考点】待定系数法求二次函数解析式. 【分析】(1)由于已知抛物线顶点坐标,则可设顶点式 y=a(x﹣1)2﹣4,然后把(﹣2,5) 代入求出 a 的值即可; (2)先求出抛物线与 x 轴的交点坐标,然后写出抛物线在 x 轴上方所对应的自变量的取值 范围即可. 【解答】解:(1)设抛物线解析式为 y=a(x﹣1)2﹣4, 把(﹣2,5)代入得 a?(﹣2﹣1)2﹣4=5,解得 a=1, 所以抛物线解析式为 y=(x﹣1)2﹣4,即 y=x2﹣2x﹣3; (2)当 y=0 时,x2﹣2x﹣3=0,解得 x1=﹣1,x2=3,则抛物线与 x 轴的两交点坐标为(﹣1, 0),(3,0), 而抛物线的开口向上,
所以当 x<﹣1 或 x>3 时,y>0.

20.已知 x1、x2 是一元二次方程 2x2﹣2x+1﹣3m=0 的两个实数根,且 x1、x2 满足不等式 x1?x2+2 (x1+x2)>0,求实数 m 的取值范围. 【考点】根与系数的关系;根的判别式. 【分析】已知 x1、x2 是一元二次方程 2x2﹣2x+1﹣3m=0 的两个实数根,可推出△=(﹣2)2

﹣4×2(1﹣3m)≥0,根据根与系数的关系可得 x1?x2=

,x1+x2=1;且 x1、x2 满足

不等式 x1?x2+2(x1+x2)>0,代入即可得到一个关于 m 的不等式,由此可解得 m 的取值范 围. 【解答】解:∵方程 2x2﹣2x+1﹣3m=0 有两个实数根,

∴△=4﹣8(1﹣3m)≥0,解得 m≥ .

由根与系数的关系,得 x1+x2=1,x1?x2=



∵x1?x2+2(x1+x2)>0,

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+2>0,解得 m< .

∴ ≤m< .

21.在*面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(﹣2,1),B(﹣4,5),C(﹣ 5,2).
(1)画出△ABC 关于 y 轴对称的△A1B1C1; (2)画出△ABC 关于原点 O 成中心对称的△A2B2C2; (3)求△A2B2C2 的面积.

【考点】作图-旋转变换;作图-轴对称变换.
【分析】(1)利用关于 y 轴对称的点的坐标特征写出 A、B、C 关于 y 轴的对称点 A1、B1、 C1 的坐标,然后描点即可得到△A1B1C1; (2)利用关于原点对称的点的坐标特征写出 A、B、C 关于 y 轴的对称点 A2、B2、C2 的坐 标,然后描点即可得到△A2B2C2; (3)利用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算出△A2B2C2 的面积. 【解答】解:(1)如图,△A1B1C1 为所作; (2)如图,△A2B2C2 为所作;

(3)△A2B2C2 的面积=3×4﹣ ×1×3﹣ ×3﹣ ×4×2=5.
22.进入冬季,我市空气质量下降,多次出现雾霾天气.商场根据市民健康需要,代理销售 一种防尘口罩,进货价为 20 元/包,经市场销售发现:销售单价为 30 元/包时,每周可售出 200 包,每涨价 1 元,就少售出 5 包.若供货厂家规定市场价不得低于 30 元/包,且商场每 周完成不少于 150 包的销售任务.
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(1)试确定周销售量 y(包)与售价 x(元/包)之间的函数关系式; (2)试确定商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润 w(元)与售价 x(元/包)之间的函 数关系式,并直接写出售价 x 的范围; (3)当售价 x(元/包)定为多少元时,商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润 w(元) 最大?最大利润是多少? 【考点】二次函数的应用. 【分析】(1)根据题意可以直接写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)根据题意可以直接写出 w 与 x 之间的函数关系式,由供货厂家规定市场价不得低于 30 元/包,且商场每周完成不少于 150 包的销售任务可以确定 x 的取值范围; (3)根据第(2)问中的函数解析式和 x 的取值范围,可以解答本题. 【解答】解:(1)由题意可得, y=200﹣(x﹣30)×5=﹣5x+350 即周销售量 y(包)与售价 x(元/包)之间的函数关系式是:y=﹣5x+350; (2)由题意可得, w=(x﹣20)×(﹣5x+350)=﹣5x2+450x﹣7000(30≤x≤40), 即商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润 w(元)与售价 x(元/包)之间的函数关系式是: w=﹣5x2+450x﹣7000(30≤x≤40);

(3)∵w=﹣5x2+450x﹣7000 的二次项系数﹣5<0,顶点的横坐标为:x=



30≤x≤40 ∴当 x<45 时,w 随 x 的增大而增大, ∴x=40 时,w 取得最大值,w=﹣5×402+450×40﹣7000=3000, 即当售价 x(元/包)定为 40 元时,商场每周销售这种防尘口罩所获得的利润 w(元)最大, 最大利润是 3000 元.

23.【问题提出】 如图①,已知△ABC 是等腰三角形,点 E 在线段 AB 上,点 D 在直线 BC 上,且 ED=EC, 将△BCE 绕点 C 顺时针旋转 60°至△ACF 连接 EF 试证明:AB=DB+AF 【类比探究】 (1)如图②,如果点 E 在线段 AB 的延长线上,其他条件不变,线段 AB,DB,AF 之间 又有怎样的数量关系?请说明理由 (2)如果点 E 在线段 BA 的延长线上,其他条件不变,请在图③的基础上将图形补充完整, 并写出 AB,DB,AF 之间的数量关系,不必说明理由.

【考点】几何变换综合题. 【分析】首先判断出△CEF 是等边三角形,即可判断出 EF=EC,再根据 ED=EC,可得 ED=EF, ∠CAF=∠BAC=60°,所以∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°,∠DBE=120°,∠EAF=∠DBE;然
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后根据全等三角形判定的方法,判断出△EDB≌△FEA,即可判断出 BD=AE,AB=AE+BF, 所以 AB=DB+AF. (1)首先判断出△CEF 是等边三角形,即可判断出 EF=EC,再根据 ED=EC,可得 ED=EF, ∠CAF=∠BAC=60°,所以∠EFC=∠FGC+∠FCG,∠BAC=∠FGC+∠FEA,∠FCG=∠FEA, 再根据∠FCG=∠EAD,∠D=∠EAD,可得∠D=∠FEA;然后根据全等三角形判定的方法, 判断出△EDB≌△FEA,即可判断出 BD=AE,EB=AF,进而判断出 AB=BD﹣AF 即可. (2)首先根据点 E 在线段 BA 的延长线上,在图③的基础上将图形补充完整,然后判断出 △CEF 是等边三角形,即可判断出 EF=EC,再根据 ED=EC,可得 ED=EF,∠CAF=∠BAC=60°, 再判断出∠DBE=∠EAF,∠BDE=∠AEF;最后根据全等三角形判定的方法,判断出△EDB ≌△FEA,即可判断出 BD=AE,EB=AF,进而判断出 AF=AB+BD 即可. 【解答】证明:ED=EC=CF, ∵△BCE 绕点 C 顺时针旋转 60°至△ACF, ∴∠ECF=60°,∠BCA=60°,BE=AF,EC=CF, ∴△CEF 是等边三角形, ∴EF=EC,∠CEF=60°, 又∵ED=EC, ∴ED=EF, ∵△ABC 是等腰三角形,∠BCA=60°, ∴△ABC 是等边三角形, ∴∠CAF=∠CBA=60°, ∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=120°,∠DBE=120°,∠EAF=∠DBE, ∵∠CAF=∠CEF=60°, ∴A、E、C、F 四点共圆, ∴∠AEF=∠ACF, 又∵ED=EC, ∴∠D=∠BCE,∠BCE=∠ACF, ∴∠D=∠AEF, 在△EDB 和△FEA 中,
(AAS)
∴△EDB≌△FEA, ∴DB=AE,BE=AF, ∵AB=AE+BE, ∴AB=DB+AF.
(1)AB=BD﹣AF; 延长 EF、CA 交于点 G,
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∵△BCE 绕点 C 顺时针旋转 60°至△ACF, ∴∠ECF=60°,BE=AF,EC=CF, ∴△CEF 是等边三角形, ∴EF=EC, 又∵ED=EC, ∴ED=EF,∠EFC=∠BAC=60°, ∵∠EFC=∠FGC+∠FCG,∠BAC=∠FGC+∠FEA, ∴∠FCG=∠FEA, 又∵∠FCG=∠ECD,∠D=∠ECD, ∴∠D=∠FEA, 由旋转的性质,可得 ∠CBE=∠CAF=120°, ∴∠DBE=∠FAE=60°, 在△EDB 和△FEA 中,
(AAS)
∴△EDB≌△FEA, ∴BD=AE,EB=AF, ∴BD=FA+AB, 即 AB=BD﹣AF.

(2)如图③,



ED=EC=CF, ∵△BCE 绕点 C 顺时针旋转 60°至△ACF, ∴∠ECF=60°,BE=AF,EC=CF,BC=AC,
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∴△CEF 是等边三角形, ∴EF=EC, 又∵ED=EC, ∴ED=EF, ∵AB=AC,BC=AC, ∴△ABC 是等边三角形, ∴∠ABC=60°, 又∵∠CBE=∠CAF, ∴∠CAF=60°, ∴∠EAF=180°﹣∠CAF﹣∠BAC =180°﹣60°﹣60° =60° ∴∠DBE=∠EAF; ∵ED=EC, ∴∠ECD=∠EDC, ∴∠BDE=∠ECD+∠DEC=∠EDC+∠DEC, 又∵∠EDC=∠EBC+∠BED, ∴∠BDE=∠EBC+∠BED+∠DEC=60°+∠BEC, ∵∠AEF=∠CEF+∠BEC=60°+∠BEC, ∴∠BDE=∠AEF, 在△EDB 和△FEA 中,
(AAS)
∴△EDB≌△FEA, ∴BD=AE,EB=AF, ∵BE=AB+AE, ∴AF=AB+BD, 即 AB,DB,AF 之间的数量关系是: AF=AB+BD.
24.已知如图 1,在以 O 为原点的*面直角坐标系中,抛物线 y= x2+bx+c 与 x 轴交于 A、
B 两点,与 y 轴交于点 C(0,﹣1),连接 AC,AO=2CO,直线 l 过点 G(0,t)且*行于 x 轴,t<﹣1, (1)求抛物线对应的二次函数的解析式;
(2)若 D 为抛物线 y= x2+bx+c 上一动点,是否存在直线 l 使得点 D 到直线 l 的距离与 OD
的长恒相等?若存在,求出此时 t 的值; (3)如图 2,若 E、F 为上述抛物线上的两个动点,且 EF=8,线段 EF 的中点为 M,求点 M 纵坐标的最小值.
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【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)根据点 C 坐标,可得 c=﹣1,然后根据 AO=2CO,可得出点 A 坐标,将点 A 坐标代入求出 b 值,即可得出函数解析式; (2)假设存在直线 l 使得点 D 到直线 l 的距离与 OD 的长恒相等,设出点 D 坐标,分别求 出 OD 和点 D 到直线 l 的距离,然后列出等式求出 t 的值; (3)作 EN⊥直线 l 于点 G,FH⊥直线 l 于点 H,设出点 E、F 坐标,表示出点 M 的纵坐标, 根据(2)中得出的结果,代入结果求出 M 纵坐标的最小值. 【解答】解:(1)∵c(0,﹣1),
∴y= x2+bx﹣1,
又∵AO=2OC, ∴点 A 坐标为(﹣2,0), 代入得:1﹣2b﹣1=0, 解得:b=0,
∴解析式为:y= x2﹣1;

(2)假设存在直线 l 使得点 D 到直线 l 的距离与 OD 的长恒相等, 设 D(a, a2﹣1),

则 OD=

=

= a2+1,

点 D 到直线 l 的距离: a2﹣1+|t|,

∴ a2﹣1+|t|= a2+1,
解得:|t|=2, ∵t<﹣1, ∴t=﹣2, 故当 t=﹣2 时,直线 l 使得点 D 到直线 l 的距离与 OD 的长恒相等;

(3)作 EN⊥直线 l 于点 N,FH⊥直线 l 于点 H, 设 E(x1,y1),F(x2,y2), 则 EN=y1+2,FH=y2+2,
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∵M 为 EF 中点,

∴M 纵坐标为:

=

=

由(2)得:EN=OE,FH=OF,



=

﹣2=

﹣2,

要使 M 纵坐标最小,即

﹣2 最小,

当 EF 过点 O 时,OE+OF 最小,最小值为 8,

∴M 纵坐标最小值为

﹣2= ﹣2=2.

﹣2,

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2016 年 12 月 14 日
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